1. مثالی برای ارائه ی مفهوم تابع: فرض کنید نام ۵ دانش آموز در دفتر نمره ی کلاس با اعداد ۱ تا ۵ مشخص شده باشد. وقتی می نویسیم (۱۷و۲) یعنی نفر شماره ی ۲ در امتحان ترم اول حسابان نمره ی ۱۷ گرفته است. کدام یک از مجموعه های زیر روش درستی برای نمایش نمرات حسابان است؟
   
   
   
   
   
2. در مثال بالا، در مجموعه ی A برای نفر دوم هم نمره 16 و هم نمره ی 17 منظور شده است، که چنین چیزی ممکن نیست. در واقع در مجموعه ی A نمره ی نفر دوم مبهم است؛ اما در مجموعه ی B چنین ابهامی وجود ندارد و نمره ی هر کس کاملاً مشخص است.
   
   
3. به مجموعه ای از زوجهای مرتب که هیچ ابهامی نداشته باشند (همانند B) یک تابع می گوییم. مجموعه ی A در مثال بالا تابع نیست(چرا؟). به طور دقیقتر:
   
   
4. تعریف اول تابع (تعریف کتاب ریاضی 2): تابع مجموعه ای از زوجهای مرتب است که مولفه های اول هیچ دو زوجی با یکدیگر برابر نباشند (و اگر دو زوج با مولفه های اول پیدا کردیم، باید مولفه های دوم نیز برابر باشند. به طور مثال مجموعه ی یک تابع است.)
   
   
5. تعریف دوم تابع (تعریف کتاب حسابان): تابع f از مجموعه ی D به مجموعه ی R قاعده ای است که به هر عنصر x از D به نام دامنه، عنصر منحصر به فرد (f(x از مجموعه ی R به نام برد را نظیر می کند.
   

   

   توضیح 1: در تعریف بالا به کلمات قرمز رنگ توجه کنید. در یک تابع باید از همه ی عناصر دامنه استفاده شود و به هر x از D دقیقاً یک عنصر از R منسوب شده باشد. همچنین دقت کنید که لزم نیست )
   
   توضیح 2: دقت کنید که در یک تابع لازم نیست از همه ی عناصر R استفاده شود.
   
   
6. تعاریف نکات ۴ و ۵ فرقی با یکدیگر ندارند.
   
   
7. اینجا یا اینجا و در شکلی که می بینید، مشخص کنید از بین 5 رابطه کدام تابع است و کدام تابع نیست و چرا. (توجه کنید که جهت خطوط ار چپ به راست است.)
   
   
8. تابع را می توان مانند یک ماشین تصور کرد که برای هر ورودی مجاز، یک خروجی منحصر به فرد دارد. (چرا؟)
   
   
9. قرار دادها و نمادها: اگر f تابعی با دامنه ی D و برد R باشد می نویسیم:
   
     یا   و می خوانیم f تابعی با دامنه ی D و برد R است که هر x از D را به (f(x از R تصویر می کند. (در واقع خروجی x از دستگاه f را (f(x می نامیم.) به  یا  ضابطه یا قانون تابع f گوییم. دامنه ی f را گاهی با  و برد f را گاهی با نمایش می دهیم.
   
   
10. چند مثال:
    
    (الف)   تابعی است که هر عنصر مجموعه یرا ابتدا در ۲ ضرب و سپس با ۱ جمع می کند. به طور مثال و  ( یعنی تصویر ۰ تحت تابع f عدد ۱ و تصویر عدد 1- تحت تابع f عدد 1- است) و ضابطه ی این تابع .
    
    (ب)  تابعی است که به هر عدد مثبت r، عدد  را منسوب می کند. به طور خلاصه می توان نوشت:  که ؛ یعنی ضابطه ی S با دامنه ی  عبارت است از . 
    
    دقت کنید که این تابع مساحت هر دایره را به شعاع آن وابسته می کند و در این مثال مساحت دایره، تابعی است از شعاع آن، یعنی شعاع دایره (یا همان r) متغیری مستقل و مساحت دایره (یا همان S) تابعی از r است. در این حالت به خلاصه می نویسیم (S(r. به طور مثال اگر شعاع دایره ای 1 واحد باشد، آنگاه (S(1 مساحت این دایره یا همان است، زیرا

    

     

11. لازم نیست که دامنه یا برد یک تابع زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی باشد. با چنین توابع پیشرفته ای در سالهای بعد آشنا خواهید شد. در حسابان معمولا توابعی را بررسی می کنیم که دامنه و برد آنها زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است.
    
    تابع حقیقی تابعی است که برد آن زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی باشد. برای مشخص کردن یک تابع حقیقی کافی است دامنه و ضابطه ی آن را بدانیم «البته این ضابطه باید چنان باشد که برای هر عضو دامنه یک و تنها یک عنصر از برد را نظیر کند.»
    
    مثال: دو تابع معرفی شده در نکته ی 10، هردو تابعی حقیقی هستند.
    
12. اگر یک معادله با دو متغیر به شما داده شده باشد، چگونه می توانید ثابت کنید که این معادله یک تابع را بر حسب یکی از متغیر ها مشخص می کند؟ به طور مثال کدام از معادلات زیر بر حسب x می تواند ضابطه ی یک تابع باشد و کدامیک نمی تواند و چرا؟ (سعی کنید دقیقا توضیح دهید.)
    

     

    

13. (بسیار مهم) برای اینکه نشان دهیم  یک تابع است باید ثابت کنیم از فرض a=b (که a و b عناصری از D هستند)، می توان نتیجه گرفت که (f(a)=f(b (چرا؟).
    
    به طور مثال، ثابت می کنیم که تابع (ب) در نکته ی 10 واقعا یک تابع را نمایش می دهد. به روند منطقی زیر توجه کنید :
    

    

    روش دیگری نیز برای اثبات تابع بودن یک رابطه وجود دارد که آن را هنگام حل نمونه مسائل کتاب، توضیح خواهیم داد (به حل تمرین ۴ صفحه ی ۱۸ قسمت (ه) در همین جلسه مراجعه کنید). 

•  تابع چند ضابطه ای: بسیاری از توابع را یا نمی توان یا به راحتی نمی توان فقط با یک ضابطه تعریف کرد. توابع مهمی همچون «تابع علامت»، «تابع جزءصحیح»، «تابع دیریکله» و ... از این دست توابع هستند. تابع چند ضابطه ای را به طور دقیق تعریف و حداقل سه مثال از این توابع را ارائه کنید.
  
14.  

حل چند مساله از مسائل کتاب حسابان:


تمرین ۳ صفحه ی ۱۸:

توجه: به روش حل این تمرین دقت کنید و حل آن را کاملا یاد بگیرید. از ایده های به کار رفته در این تمرین، بعدها در فصل مشتق استفاده خواهد شد.

عبارت  را برای تابع های زیر پیدا کنید(توجه کنید که در این مساله، h مخالف صفر است):

الف)

ج)

حل مساله:

الف)